【例 1】瓜豆原理之曲线型 · 动态几何演示 定比 1:1定角 60°

📋 原题题干

📊 实时几何数值监测

💡 完整图文解析步骤与答案

• 第一步（识别瓜豆要素）：
  定点为 C，主动点为 A（在以 B 为圆心、半径 R=2 的圆上运动），从动点为 D。由于 △ACD 是等边三角形，始终满足定长比 CA : CD = 1 : 1，定夹角 ∠ACD = 60°。
• 第二步（构造从动点轨迹圆）：
  将圆心 B 绕定点 C 逆时针旋转 60° 得到点 B'（即以 BC 为边作等边 △BCB'，边长 CB'=CB=4）。由 SAS 全等易证 △CBA ≌ △CB'D，故 B'D = BA = 2。因此点 D 的轨迹是以 B' 为圆心、r=2 为半径的 ⊙B'。
• 第三步（计算 △BCD 面积最大值）：
  底边 BC=4 固定。圆心 B' 到直线 BC 的距离为等边 △BCB' 的高 h₀ = 4 × sin60° = 2√3。
  当 B'D ⊥ BC 且点 D 在 B' 正上方时，点 D 到 BC 的距离最大，最大高为 h_max = 2√3 + 2。
  故 S_△BCD 最大值 = ½ × 4 × (2√3 + 2) = 4√3 + 4 ≈ 10.93。