主动点 P 运动进度:
120.0°
📋 原题题干
8．如图，已知点 A 是第一象限内的一个定点，若点 P 是以 O 为圆心，2 个单位长为半径的圆上的一个动点，连接 AP，以 AP 为边向 AP 右侧作等边三角形 APB．当点 P 在 ⊙O 上运动一周时，点 B 运动的路径长是 4π ．
📊 实时几何数值监测
主圆 ⊙O 半径 R
2.00
轨迹圆 ⊙O' 半径 r
2.00
等边三角形边长 AP=AB
0.00
点 B 已走路径长
0.00
💡 完整图文解析步骤与答案
- 第一步（识别瓜豆要素）：
定点为 A，主动点 P 在半径 R=2 的 ⊙O 上运动，从动点 B 由点 P 绕定点 A 逆时针旋转 60° 得到（AB : AP = 1 : 1，∠PAB = 60°）。 - 第二步（确定轨迹圆半径 r）：
将圆心 O 绕定点 A 旋转 60° 得到轨迹圆心 O'（即作等边 △AOO'）。由 SAS 全等易证 △AOP ≌ △AO'B，故 O'B = OP = 2。因此点 B 的轨迹圆 ⊙O' 的半径 r = R = 2（与定点 A 的具体位置无关！）。 - 第三步（计算点 B 运动一周的路径长）：
当点 P 在 ⊙O 上运动一周时，点 B 在半径 r=2 的 ⊙O' 上运动一周，路径长为：
L = 2πr = 2π × 2 = 4π ≈ 12.57。
最终答案：4π （约 12.57）