主动点 P 角度:
60.0°
📋 原题题干
15．若 AC＝4，以点 C 为圆心，2 为半径作圆，点 P 为该圆上的动点，连接 AP．
（1）如图1，取点 B，使 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点 P 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 AP′．①点 P′ 的轨迹是 圆；②CP′ 的最小值是 4√2 - 2；
（2）如图2，以 AP 为边作等边 △APQ（A、P、Q 顺时针排列），求 CQ 的最大值；
（3）如图3，将点 A 绕点 P 逆时针旋转 90° 得到点 M，连接 PM，则 CM 的最小值为 4 - 2√2．
（1）如图1，取点 B，使 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点 P 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 AP′．①点 P′ 的轨迹是 圆；②CP′ 的最小值是 4√2 - 2；
（2）如图2，以 AP 为边作等边 △APQ（A、P、Q 顺时针排列），求 CQ 的最大值；
（3）如图3，将点 A 绕点 P 逆时针旋转 90° 得到点 M，连接 PM，则 CM 的最小值为 4 - 2√2．
📊 实时几何数值监测 (图1 · 第(1)问)
圆心距 CB / CC' / CC''
5.66 (4√2)
从动轨迹圆半径 r
2.00
主动线段 AP 长度
0.00
目标线段 CP' 实时长度
0.00
💡 完整图文解析步骤与答案
- （1）图1解析：
将圆心 C 绕定点 A 顺时针旋转 90° 恰好得到点 B，由 △ACP ≌ △ABP' 知 BP' = CP = 2，故 P' 的轨迹是以 B 为圆心、r=2 为半径的圆。又 BC = 4√2，故 CP'min = 4√2 - 2。 - （2）图2解析：
将圆心 C 绕定点 A 顺时针旋转 60° 得到点 C'（作等边 △ACC'，CC'=AC=4）。由 △ACP ≌ △AC'Q 知 C'Q = CP = 2，故 CQmax = CC' + C'Q = 4 + 2 = 6。 - （3）图3解析：
点 A 绕点 P 逆时针旋转 90° 得 M，即 △APM 为等腰直角三角形（∠APM=90°），等价于点 P 绕定点 A 顺时针旋转 45° 并放大 √2 倍得 M。将圆心 C 绕 A 顺时针旋转 45° 并放大 √2 倍得 C''，则 ∠ACC''=90°，CC'' = AC = 4，轨迹半径 r = 2√2，故 CMmin = 4 - 2√2。
答案：(1) 圆，4√2 - 2；(2) 6；(3) 4 - 2√2