【变式2-3】等腰直角三角形斜边动点与M路径长

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 4，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQ⊥OP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，求点 M 所经过的路线长．

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 几何性质挖掘：在 Rt△POQ 中，∠POQ = 90°，M 为斜边 PQ 中点，故 OM = 1/2 PQ。
在 Rt△PCQ 中，∠PCQ = 90°，M 为斜边 PQ 中点，故 CM = 1/2 PQ。
2. 确定动点轨迹：由 OM = CM 可知，点 M 始终在定线段 OC 的垂直平分线上！
3. 轨迹几何本质：OC 垂直平分线恰好是 △ABC 的中位线，平行于斜边 AB。
4. 路径长计算：点 P 从 A 运动到 C 时，对应点 M 在中位线上从一端运动到另一端，路径长等于中位线长 = 1/2 AB = 2。

📝 完整推导与几何证明

① 连接 OC、OM、CM：
    ∵ O 为等腰 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，∠ACB = 90°，
    ∴ OC ⊥ AB，且 OC = OA = OB = 2；
② 在 Rt△POQ 中，∠POQ = 90°，M 为 PQ 中点，∴ OM = 1/2 PQ；
    在 Rt△PCQ 中，∠PCQ = 90°，M 为 PQ 中点，∴ CM = 1/2 PQ；
③ ∴ OM = CM，即点 M 在线段 OC 的垂直平分线上；
④ ∵ △ABC 是等腰直角三角形，OC ⊥ AB，故 OC 的垂直平分线即为 △ABC 的中位线；
⑤ 故当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 的运动轨迹为 △ABC 的中位线段，
    其长度为：路线长 = 1/2 AB = 1/2 × 4 = 2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论：点 M 所经过的路线长为 2