如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 √3 的一个定点，AC⊥x 轴于点 M，交直线 y＝-x 于点 N．若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长为多少？
📊 几何量度与最值对比
主动点(瓜)
从动点(豆)
运动轨迹
瓜豆辅助形
目标测量线
🧠 瓜豆原理核心剖析
1. 定点与动点分析：点 A(√3, yA) 为定点，P 为主动点（在线段 ON 上运动），B 为从动点。 2. 瓜豆定角定比变换：在 Rt△PAB 中，∠PAB = 90°，∠APB = 30°， 故 AB / AP = tan 30° = 1/√3（恒定定比），且 ∠PAB = 90°（恒定定角）！ 这表明点 B 是点 P 绕定点 A 旋转 90° 并按 1/√3 比例缩放得到的。 3. 轨迹长度定理：从动点 B 的轨迹长度 = 主动点 P 的轨迹长度 × 放缩比例 = ON × (1/√3)。 4. 计算求解：M(√3, 0)，N 在直线 y = -x 上，故 N(√3, -√3)，线段 ON 的长度为 √6，故 B 的路径长为 √6 × (1/√3) = √2。
📝 完整推导与几何证明
① 分析直角三角形 APB 的相似变换： 在 Rt△APB 中，BA ⊥ PA，∠APB = 30°， ∴ AB / AP = tan 30° = 1/√3； 当 P 运动至 ON 上的任一点 Pi 时，设对应动点为 Bi，连接 APi，ABi； 易证 △AB₁B₂ ∽ △AON，相似比为 AB₁ / AP = 1/√3； ② 计算主动点路径长 ON： 直线 ON 解析式为 y = -x，点 A 横坐标为 √3，AC ⊥ x 轴于点 M， ∴ 点 N 的坐标为 (√3, -√3)； 在 Rt△OMN 中，OM = MN = √3，∴ ON = √(OM² + MN²) = √6； ③ 计算从动点 B 的路径长 B₁B₂： 根据瓜豆原理路径长定理： B₁B₂ = ON × (1/√3) = √6 / √3 = √2。 故点 B 运动的路径长为 √2。