【实战演练10】含30°直角三角形与AE最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，已知 △ABC 为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D 是直线 AB 上一点．以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE，求 AE 的最小值．

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 定点与动点分析：点 C 为定点，点 D 为主动点（在直线 AB 上运动），点 E 为从动点。
2. 隐圆与轨迹定理：作 CH ⊥ AB 于 H。因为 ∠CED = ∠CHD = 90°，故 C、E、H、D 四点共圆！
根据同弧所对圆周角相等，∠EHC = ∠EDC = 45°。
又 ∠AHC = 90°，∴ ∠AHG = 90° - 45° = 45°，因此点 E 始终在定直线 GH 上运动！
3. 极值转化：A 为定点，E 在定直线 GH 上运动，由“垂线段最短”，当 AE ⊥ GH 于 G 时，AE 达到最小值 3√2。

📝 完整推导与几何证明

① 作 CH ⊥ AB 于 H，取 CD 的中点 O，连接 OE、OH、EH，作 AG ⊥ EH 交 EH 的延长线于 G：
    ∵ ∠CED = ∠CHD = 90°，CO = OD，∴ OE = OH = OC = OD；
    ∴ C、E、H、D 四点共圆，∴ ∠EHC = ∠EDC = 45°；
    ∴ ∠AHG = 90° - ∠EHC = 45°；
    因此，点 E 的运动轨迹是定直线 GH；
② 求 AE 的最小值：
    当 AE ⊥ GH（即 AE 与 AG 重合）时，AE 的值最小；
    在 Rt△ABC 中，BC = 4, ∠CAB = 30°，
    ∴ AC = BC / tan 30° = 4√3；
    在 Rt△ACH 中，AH = AC · cos 30° = 4√3 × (√3 / 2) = 6；
    在 Rt△AGH 中，∠AGH = 90°，∠AHG = 45°，AH = 6，
    ∴ AG = AH · sin 45° = 6 × (√2 / 2) = 3√2；
③ 故 AE 的最小值为 3√2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： AE 的最小值为 3√2（约 4.243）