例题精讲

【例1】等边三角形与OP最小值

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📡 动点实时遥测
主动点进度 t:
0.200
📌 原题题干
如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点 C、D 在 x 正半轴上，以 AB 为边在 AB 的下方作等边△ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值．
📊 几何量度与最值对比
主动点(瓜)
从动点(豆)
运动轨迹
瓜豆辅助形
目标测量线
🧠 瓜豆原理核心剖析
1. 识别瓜豆模型：定点为 A(-3,0)，主动点为 B（在 y 轴正半轴上运动），从动点为 P。
2. 构型变换：△ABP 始终为等边三角形，定点连线夹角 ∠BAP = 60°（定角，顺时针），线段比 AP:AB = 1:1（定量）。
3. 从动点轨迹：主动点 B 轨迹是直线（y 轴），故从动点 P 的轨迹也是一条直线，且两直线夹角等于定角 60°。
4. 极值转化：当点 P 在轨迹直线 P₁P₂ 上运动时，连接原点 O 与 P，由“垂线段最短”可知，当 OP ⊥ P₁P₂ 时，OP 取得最小值。
📝 完整推导与几何证明
① 找两特殊点确定 P 轨迹直线：
    • 特殊时刻 1：当点 B 与原点 O 重合时，A(-3,0), B(0,0)，在 AB 下方作等边△ABP₁，求得 P₁(-1.5, -1.5√3)；
    • 特殊时刻 2：当点 B 使得 ∠BAO = 60° 时，作等边△ABP₂，由于 ∠P₂AO = 0°，得 P₂ 在 x 轴正半轴上，且 OP₂ = OA = 3，即 P₂(3, 0)；
② 连接 P₁P₂ 即为从动点 P 的轨迹直线，其方程为 x - √3y - 3 = 0；
③ 轨迹直线与 y 轴夹角为 60°，与 x 轴正向夹角为 30°；
④ 求 OP 最小值：
    过原点 O 作 OP ⊥ P₁P₂ 于点 H，在 Rt△OP₂H 中，OP₂ = 3，∠OP₂H = 30°，
    故 OP_min = OP₂ · sin 30° = 3 × 1/2 = 3/2。
🎯 最终标准答案
🏆 结论： OP 的最小值为 3/2（即 1.5）