📡 动点实时遥测
主动点进度 t:
0.200
📌 原题题干
如图，二次函数 y＝-x² + 2x + 3 的图象与 x 轴交于点 A（-1，0）、B（3，0），与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P 是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若△ABQ 的面积是△BPQ 面积的 4 倍，求点 P 的横坐标；
（3）当点 P 在第一象限时，连接 AP，交线段 BC 于点 M，以 AM 为斜边向 △ABM 外作等腰直角三角形 AMN，连接 BN，△ABN 的面积是否变化？若不变，求出面积；若变化，说明理由．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若△ABQ 的面积是△BPQ 面积的 4 倍，求点 P 的横坐标；
（3）当点 P 在第一象限时，连接 AP，交线段 BC 于点 M，以 AM 为斜边向 △ABM 外作等腰直角三角形 AMN，连接 BN，△ABN 的面积是否变化？若不变，求出面积；若变化，说明理由．
📊 几何量度与最值对比
主动点(瓜)
从动点(豆)
运动轨迹
瓜豆辅助形
目标测量线
🧠 瓜豆原理核心剖析
1. 抛物线解析式 (1)：代入 A(-1,0), B(3,0) 解得 y = -x² + 2x + 3，交 y 轴于 C(0,3)。
2. 等腰直角三角形手拉手 (3)：以 AB 为底在 x 轴上方作等腰直角三角形 ABK，连接 NK。
△AMN 与 △ABK 均为等腰直角三角形，易证 △NAK ∽ △MAB，得 ∠NKA = ∠MBA = 45°。
3. 轨迹平行性：由 ∠MBA = ∠KAB = 45°，推出 NK ∥ AB！
因此，点 N 在平行于 x 轴的定直线 y = 2 上运动！
4. 面积定值结论：底边 AB = 4 固定在 x 轴上，点 N 到 AB 的距离恒为 KH = 2，故 S_△ABN = 1/2 × 4 × 2 = 4（定值不变）！
2. 等腰直角三角形手拉手 (3)：以 AB 为底在 x 轴上方作等腰直角三角形 ABK，连接 NK。
△AMN 与 △ABK 均为等腰直角三角形，易证 △NAK ∽ △MAB，得 ∠NKA = ∠MBA = 45°。
3. 轨迹平行性：由 ∠MBA = ∠KAB = 45°，推出 NK ∥ AB！
因此，点 N 在平行于 x 轴的定直线 y = 2 上运动！
4. 面积定值结论：底边 AB = 4 固定在 x 轴上，点 N 到 AB 的距离恒为 KH = 2，故 S_△ABN = 1/2 × 4 × 2 = 4（定值不变）！
📝 完整推导与几何证明
① 求解 (1) 解析式：
由题意：0 = -(-1)² + b(-1) + c 且 0 = -3² + 3b + c，解得 b = 2, c = 3；
∴ 二次函数解析式为 y = -x² + 2x + 3；
② 解答 (3) △ABN 面积定值证明：
以 AB 为底在 x 轴上方作等腰直角三角形 ABK，过 K 作 KH ⊥ x 轴于 H；
∵ △AMN 和 △ABK 均为等腰直角三角形，
∴ AN/AM = AK/AB = 1/√2，∠NAM = ∠BAK = 45°；
∴ ∠NAK = ∠MAB，∴ △NAK ∽ △MAB，∴ ∠NKA = ∠MBA；
在 Rt△OBC 中，OB = 3, OC = 3，∴ ∠MBA = 45°；
∴ ∠NKA = 45° = ∠KAB，∴ NK ∥ AB；
∵ 平行线间的距离处处相等，∴ 点 N 到 AB 的垂直距离恒等于 KH 的长；
在等腰 Rt△KAB 中，底边 AB = 4，∴ 高 KH = 1/2 AB = 2；
∴ S_△ABN = 1/2 · AB · KH = 1/2 × 4 × 2 = 4。
综上所述，△ABN 的面积不变，恒等于 4。
由题意：0 = -(-1)² + b(-1) + c 且 0 = -3² + 3b + c，解得 b = 2, c = 3；
∴ 二次函数解析式为 y = -x² + 2x + 3；
② 解答 (3) △ABN 面积定值证明：
以 AB 为底在 x 轴上方作等腰直角三角形 ABK，过 K 作 KH ⊥ x 轴于 H；
∵ △AMN 和 △ABK 均为等腰直角三角形，
∴ AN/AM = AK/AB = 1/√2，∠NAM = ∠BAK = 45°；
∴ ∠NAK = ∠MAB，∴ △NAK ∽ △MAB，∴ ∠NKA = ∠MBA；
在 Rt△OBC 中，OB = 3, OC = 3，∴ ∠MBA = 45°；
∴ ∠NKA = 45° = ∠KAB，∴ NK ∥ AB；
∵ 平行线间的距离处处相等，∴ 点 N 到 AB 的垂直距离恒等于 KH 的长；
在等腰 Rt△KAB 中，底边 AB = 4，∴ 高 KH = 1/2 AB = 2；
∴ S_△ABN = 1/2 · AB · KH = 1/2 × 4 × 2 = 4。
综上所述，△ABN 的面积不变，恒等于 4。
🎯 最终标准答案
🏆 结论：
△ABN 的面积不变化，恒等于 4