【变式1-2】等边三角形与DN最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，等边△ABC 中，AB＝BC＝AC＝6，点 M 是 BC 边上的高 AD 所在直线上的点，以 BM 为边作等边△BMN，连接 DN，则 DN 的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 定点与动点分析：点 B 为定点，M 为主动点（在高 AD 直线上运动），N 为从动点。
2. 手拉手全等模型：△ABC 与 △BMN 均为等边三角形，BA = BC, BM = BN, ∠ABC = ∠MBN = 60°，故 ∠ABM = ∠CBN，△ABM ≌ △CBN (SAS)。
3. 从动点 N 轨迹：由全等得 ∠BCN = ∠BAM = 30°，故点 N 始终在与 BC 成 30° 夹角的定射线 CN 上运动！
4. 极值转化：D 为 BC 中点（定点），N 在定直线 CN 上运动，根据“垂线段最短”，当 DN ⊥ CN 时，DN 取最小值。

📝 完整推导与几何证明

① 连接 CN。在等边△ABC 中，AD ⊥ BC，BC = 6，故 BD = CD = 3，∠BAD = 30°；
② 证明全等：
    ∵ △ABC 与 △BMN 均为等边三角形，
    ∴ AB = BC, BM = BN, ∠ABC = ∠MBN = 60°，
    ∴ ∠ABM = ∠ABC - ∠MBC = ∠MBN - ∠MBC = ∠CBN，
    ∴ △ABM ≌ △CBN (SAS)；
③ 得对应角相等：∠BCN = ∠BAM = 30°，因此点 N 的轨迹是过点 C 且与 BC 夹角为 30° 的射线 CN；
④ 计算 DN 最小值：
    当 DN ⊥ CN 时，在 Rt△DCN 中，∠DCN = 30°，CD = 3，
    DN = CD · sin 30° = 3 × 1/2 = 3/2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论： DN 的最小值为 3/2（即 1.5）