如图，已知点 A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），动点 P 在线段 AB 上，点 P、C、M 按逆时针顺序排列，且 ∠CPM＝90°，CP＝MP，当点 P 从点 A 运动到点 B 时，求点 M 运动的路径长．
📊 几何量度与最值对比
主动点(瓜)
从动点(豆)
运动轨迹
瓜豆辅助形
目标测量线
🧠 瓜豆原理核心剖析
1. 确定定点与主动点：点 C(-1,4) 为定点，点 P 为主动点（在线段 AB 上运动），M 为从动点。 2. 瓜豆旋转放缩变换：△CPM 为等腰直角三角形，∠CPM = 90°，CP = MP。 在 Rt△CPM 中，斜边 CM = √2 CP，且 ∠PCM = 45°。 因此，从定点 C 观察，点 M 是由点 P 绕点 C 顺时针旋转 45° 并伸长为 √2 倍得到的！ 3. 轨迹长度比例定理：从动点 M 的轨迹长度等于主动点 P 的轨迹长度乘以相似放缩比 k = √2。
📝 完整推导与几何证明
① 计算主动点 P 的路径长： 点 A(-3,0)，点 B(0,3)，线段 AB 的长度为： AB = √[(-3-0)² + (0-3)²] = 3√2； ② 确定瓜豆放缩比例： 由 ∠CPM = 90°，CP = MP，得 CM / CP = √2； ③ 计算从动点 M 路径长： 根据瓜豆原理相似变换定理： M 的路径长 = P 的路径长 × (CM / CP) = 3√2 × √2 = 6； ④ 在直角坐标系中，点 M 的轨迹刚好是直线 x = 1 上从 (1,-2) 到 (1,4) 的一条垂直线段，长度恰好为 4 - (-2) = 6。