【例2】等边三角形高线动点与HN最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，边长为 5 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到 BN，连接 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 定点与动点识别：B 为定点，M 为主动点（在高线 CH 所在直线上运动），N 为从动点。
2. 全等构造转化：线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到 BN，即 BM = BN 且 ∠MBN = 60°。
取 BC 中点 G，连接 MG，由 ∠HBN = 60° - ∠MBH = ∠GBM，BH = BG = 2.5，易证 △MBG ≌ △NBH (SAS)。
3. 线段转移：由全等可得 HN = MG！求 HN 的最小值转化为求点 G 到直线 CH 的垂线段 MG 的最小值。
4. 极值求解：根据“垂线段最短”，当 MG ⊥ CH 时，MG 取得最小值，此时 HN 也取得最小值。

📝 完整推导与几何证明

① 取 BC 的中点 G，连接 MG：
    ∵ CH ⊥ AB，△ABC 为等边三角形，边长为 5，
    ∴ HB = 1/2 AB = 2.5，又 G 为 BC 中点，故 BG = 1/2 BC = 2.5，即 HB = BG；
② 证明 △MBG ≌ △NBH：
    ∵ ∠ABC = 60°，∠MBN = 60°，
    ∴ ∠GBM = ∠ABC - ∠ABM = 60° - ∠ABM，∠HBN = ∠MBN - ∠ABM = 60° - ∠ABM，
    ∴ ∠GBM = ∠HBN，又 BM = BN, BG = BH，
    ∴ △MBG ≌ △NBH (SAS)，从而 HN = MG；
③ 求 MG（即 HN）的最小值：
    当 MG ⊥ CH 时，MG 最短。在 Rt△CGM 中，G 是 BC 中点，CG = 2.5，
    ∵ CH 是等边三角形高线，∴ ∠BCH = 30°，
    ∴ MG = CG · sin 30° = 2.5 × 1/2 = 5/4 = 1.25。
    故 HN 的最小值为 5/4。

🎯 最终标准答案

🏆 结论：线段 HN 长度的最小值为 5/4（即 1.25）