【实战演练5】矩形动点旋转60°与DQ最小值

📡 动点实时遥测

主动点进度 t:

0.200

从动点轨迹瓜豆原理辅助线坐标网格

📌 原题题干

如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，BC＝5√3，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两点），连接 AP，以点 A 为中心，将线段 AP 逆时针旋转 60° 到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的最小值为多少？

📊 几何量度与最值对比

主动点(瓜)

从动点(豆)

运动轨迹

瓜豆辅助形

目标测量线

🧠 瓜豆原理核心剖析

1. 确定定点与主动点：A 为定点，P 为主动点（在线段 BC 上运动），Q 为从动点。
2. 构造手拉手全等：AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到 AQ，即 AP = AQ 且 ∠PAQ = 60°。
以 AB 为边向右作等边△ABF，易证 △BAP ≌ △FAQ (SAS)。
3. 从动点 Q 轨迹：由全等得 ∠AFQ = ∠ABP = 90°，故点 Q 在过点 F 且垂直于 AF 的射线 FE 上运动！
4. 极值求解：过 D 作 DH ⊥ FE 于 H，当点 Q 运动到点 H 时，DQ 取得最小值 DH = 5/2 = 2.5。

📝 完整推导与几何证明

① 以 AB 为边向右作等边△ABF，延长 FQ 交 AD 于 E，过点 D 作 DH ⊥ QE 于 H：
    ∵ 矩形 ABCD 中，∠BAD = ∠ABP = 90°，AB = 5，BC = 5√3；
    ∵ △ABF 与 △APQ 均为等边三角形，
    ∴ ∠BAF = ∠PAQ = 60°，AB = AF, AP = AQ，
    ∴ ∠BAP = ∠FAQ，∴ △BAP ≌ △FAQ (SAS)；
② 由全等得 ∠AFQ = ∠ABP = 90°；
    ∵ ∠FAE = 90° - ∠BAF = 30°，∴ 在 Rt△AFE 中，AE = AF / cos 30° = 5 / (√3/2) = 10√3 / 3；
    ∴ 点 Q 在射线 FE 上运动；
③ 求 DQ 最小值：
    AD = BC = 5√3，∴ DE = AD - AE = 5√3 - 10√3 / 3 = 5√3 / 3；
    在 Rt△DHE 中，∠DEH = ∠AEF = 60°，
    ∴ DH = DE · sin 60° = (5√3 / 3) × (√3 / 2) = 5/2 = 2.5；
    根据“垂线段最短”，当点 Q 与点 H 重合时，DQ 取得最小值 5/2。

🎯 最终标准答案

🏆 结论：线段 DQ 的最小值为 5/2（即 2.5）